Тела вращения

Образование поверхности вращения

Тела вращения — объёмные тела, возникающие при вращении плоской геометрической фигуры, ограниченной кривой, вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

Примеры тел вращения

• Шар — образован полукругом, вращающимся вокруг диаметра разреза
• Цилиндр — образован прямоугольником, вращающимся вокруг одной из сторон

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь его развёртки:

[math]\displaystyle{ S_{bok}=2 \pi r h }[/math].

• Конус — образован прямоугольным треугольником, вращающимся вокруг одного из катетов

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки:

[math]\displaystyle{ S_{bok}= \pi r l }[/math].

Площадь полной поверхности конуса:

[math]\displaystyle{ S_{poln}= \pi r (r + l) }[/math].

• Тор — образован окружностью, вращающейся вокруг прямой, не пересекающей его

При вращении контуров фигур возникает поверхность вращения (например, сфера, образованная окружностью), в то время как при вращении заполненных контуров возникают тела (как шар, образованный кругом).

Объём тел вращения

Вращение вокруг оси x

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси [math]\displaystyle{ x }[/math] фигуры, ограниченной графиком функции [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] на интервале [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math], осью [math]\displaystyle{ x }[/math] и прямыми [math]\displaystyle{ x=a }[/math] и [math]\displaystyle{ x=b }[/math], равен:

[math]\displaystyle{ V_x = \pi \int_{a}^{b} f^2(x) dx }[/math]

Вращение вокруг оси y

Объём тела, образуемого вращением вокруг оси [math]\displaystyle{ y }[/math] фигуры, ограниченной графиком функции [math]\displaystyle{ y=f(x) }[/math] на интервале [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math], осью [math]\displaystyle{ x }[/math] и прямыми [math]\displaystyle{ x=a }[/math] и [math]\displaystyle{ x=b }[/math], равен:

[math]\displaystyle{ V_y = 2\pi \int_{a}^{b} xf(x) dx }[/math]

Теорема Гульдина

Объём и площадь поверхности тел вращения можно также узнать при помощи теорем Гульдина-Паппа, которые связывают площадь или объём с центром масс фигуры.

• Первая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Площадь поверхности, образуемой при вращении линии, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равна произведению длины линии на длину окружности, пробегаемой центром масс этой линии.

• Вторая теорема Гульдина-Паппа гласит:

Объём тела, образуемого при вращении фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси вращения, равен произведению площади фигуры на длину окружности, пробегаемой центром масс этой фигуры.

Литература

А. В. Погорелов. «Геометрия. 10-11 класс» § 21.Тела вращения. — 2011